论文导读：本文利用非线性规划给出航线调整的最优角度，并通过系统仿真检验结果可行性。在求解过程中由于飞行过程的时间连续性，我们预先使用MATLAB将飞行时间离散化，得到有效时间值并应用到最优化的模型求解中，运用Lingo软件编程求解得出相应飞机的最优调整角度。
关键词：非线性规划，时间离散化，系统仿真

　　1 问题提出
　　在约10000 米高空的某边长为160 公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：
　　1） 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
　　2） 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
　　3） 所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
　　4） 进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60 公里以上；
　　5） 最多需考虑6架飞机；
　　6） 不必考虑飞机离开此区域后的状况；
　　请对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4 个顶点的坐标为：(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。
　　记录数据为：
　　

飞机编号	横坐标	纵坐标	方向角（度）
1	150	140	243
2	85	85	236
3	150	155	220.5
4	145	50	159
5	130	150	230
新进入	0	0	52

注：方向角指飞行方向与X 轴正向的夹角。
　　2 模型准备
　　 本文研究的飞机都是高空水平飞行，并且只考虑在一个的正方形区域内的情况。在该区域内已经有5架飞机，此时有第6架飞机欲进入，针对这个飞行管理问题，我们需要做以下四方面工作：
　　第一、建立平面直角坐标系
　　那么正方形区域4 个顶点的坐标为：（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）。将飞机视为质点，飞行路线简化为直线，建立飞机位置和平面坐标的一一对应关系。
　　第二、判断新进入飞机是否符合进入该区域的条件
　　由两点间的距离公式
　　
　　计算得到1～5架飞机和第6架飞机的距离见下表：
　　

从上表可以看出，第6架飞机与任意一架飞机都超过60公里，所以该飞机可以进入正方形区域。
　　 第三、分析避免引起碰撞的各种约束
　　无碰撞约束是针对调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角之后的情况：
　　(1) 方向角调整的幅度不应超过30度；
　　(2)正方形区域的对角线长度为，飞机速度为，因此一架飞机在该区域的最大飞行时间是小时，约为17分钟；
　　(3) 飞行时，各飞机的坐标不断变化，任意时刻两架飞机的距离大于8公里。
　　第四、方向角转化
　　因为方向角指飞行方向与X 轴正向的夹角，所以调整方向为逆时针时，调整角度为正；调整方向为顺时针时，调整角度为负。在解答过程中，对所有角度都采用弧度描述，所以首先将6架飞机的初始方向角进行转化，结果如下：
　　

　　3 模型的建立及求解
　　3.1约束层
　　1）方向角调整的幅度不应超过30度： 
　　2）该区域内一架飞机的最大可能飞行时间：
　　3）对飞机飞行时刻的描述:飞行时间是连续的，但这求解时会产生无穷多的变量，因此我们把时间离散化，将最大可能飞行时间分为段，第个时刻表示为
　　
　　4）飞行中任意两架飞机的距离不超过8公里
　　第架飞机的初始坐标为，飞机在不同时刻的对应不同的坐标，（单位：分钟）时刻坐标是；各架飞机的初始方向角是，调整后的方向角是。初始位置和时刻位置的距离是
　　 
　　据坐标变换公式，将时刻坐标以初始坐标表示为：

上式可以表示任意一架飞机在时刻的坐标，所以第架到第架飞机之间的距离可以表示为： 　　其中， 　　 　　 　　那么，任意两架飞机在任意时刻的距离不超过8公里可以表示成： 　　 　　3.2 目标层——调整的角度越小越好 　　由于调整方向有负有正，本文取各架飞机调整角度的绝对值之和 　　3.3模型的建立与求解 　　从飞行操控难易程度的角度出发，以所有的飞机调整角度最小为目标，建立非线性规划模型，以调整角度为决策变量（规定逆时针调整时，顺时针方向调整时），模型如下： 　　 　　 　　3.4 模型求解3.4.1巧妙精炼的预处理工作本题建立的是一个非线性规划模型，模型本身已经考虑到了LINGO求解时的困难，主要在于：将距离计算式的开方计算，减小了程序运算量，提高了效率； 　　(1)转化为  　　(2)把时间离散化表示，即 　　对于连续的时间，无法编程计算，因此首先将时间离散化，取为。但即便这样运用LINGO来计算的值会增加变量数量，因为数值计算并不是LINGO软件包的强项，所以我们预先使用MATLAB计算的值，以文件形式向LINGO中导入，这样做显然符合现代结构化编程规范，即：数据程序分离；同样也方便了调试（数据文件保存为DAT.TXT见附录3）。 　　表示优化：为了方便计算，本文在前面对角度统一使用弧度描述，但是为了符合人们的习惯，直观的观察求解结果，可以将目标转换成角度表示： 　　 　　3.4.2求解结果取时间分段数目N＝10000，运行LINGO程序得到如下结果： 　　 目标值 Objective value: 3.629436度 DT(3)=2.5695956 弧度＝0.044847903 DT(6)=1.0598407 弧度＝0.01849771 距离最小值8.00843793009587公里 可以看出，只需调整3号与6号飞机，整个区域就可以保证安全，无碰撞事故发生。第3架的调整角度是2.5695956度（0.044847903弧度），第6架的调整角度是1.0598407度（0.01849771弧度）。 　　3.5仿真验证为了更加直观地描述调度方案，我们后续在MATLAB中编写仿真程序，动画显示6架飞机实时运行状况，对求解结果进行验证，算法如下： 　　Step(1): 输入各飞机初始坐标X,Y,初始方向角,调整角度；(都为1*6数组) 　　Step(2): 创建时间变量t=0.01小时； 　　Step(3): 计算t时刻各飞机坐标 　　 　　Step(4): 刷新图像，显示当前各飞机位置，t=t+0.01; 　　Step(5): 若t1/3小时则程序结束；否则转STEP[3]。 　　通过动画可以观察出经过调整后的飞机飞行线路，直观的验证模型的可行性与求解结果的正确性。 参考文献 [ 1 ]、谢金星、薛毅，《优化建模与LINDO/LINGO软件》，北京，清华大学出版社，2005-7 [ 2 ]、Duane Hanselman, Bruce Littlefield著，朱仁峰 译 《精通MATLAB 7》，北京，清华大学出版社 2006