航空发动机
主办单位:中国航空工业集团公司
国际刊号:1672-3147
国内刊号:21-1359/V
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Lingo在飞行管理中的应用

论文导读:本文利用非线性规划给出航线调整的最优角度,并通过系统仿真检验结果可行性。在求解过程中由于飞行过程的时间连续性,我们预先使用MATLAB将飞行时间离散化,得到有效时间值并应用到最优化的模型求解中,运用Lingo软件编程求解得出相应飞机的最优调整角度。
关键词:非线性规划,时间离散化,系统仿真

  1 问题提出
  在约10000 米高空的某边长为160 公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞。现假定条件如下:
  1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;
  2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;
  3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里;
  4) 进入该区域的飞机在到达该区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60 公里以上;
  5) 最多需考虑6架飞机;
  6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况;
  请对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01 度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4 个顶点的坐标为:(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。
  记录数据为:
  

飞机编号 横坐标 纵坐标 方向角(度)
1 150 140 243
2 85 85 236
3 150 155 220.5
4 145 50 159
5 130 150 230
新进入 0 0 52

注:方向角指飞行方向与X 轴正向的夹角。
  2 模型准备
   本文研究的飞机都是高空水平飞行,并且只考虑在一个的正方形区域内的情况。在该区域内已经有5架飞机,此时有第6架飞机欲进入,针对这个飞行管理问题,我们需要做以下四方面工作:
  第一、建立平面直角坐标系
  那么正方形区域4 个顶点的坐标为:(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。将飞机视为质点,飞行路线简化为直线,建立飞机位置和平面坐标的一一对应关系。
  第二、判断新进入飞机是否符合进入该区域的条件
  由两点间的距离公式
  
  计算得到1~5架飞机和第6架飞机的距离见下表:
  

飞机编号 1~6 2~6 3~6 4~6 5~6
距离 205.1828 120.2082 215.6965 153.3786 198.4943

从上表可以看出,第6架飞机与任意一架飞机都超过60公里,所以该飞机可以进入正方形区域。
   第三、分析避免引起碰撞的各种约束
  无碰撞约束是针对调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角之后的情况:
  (1) 方向角调整的幅度不应超过30度;
  (2)正方形区域的对角线长度为,飞机速度为,因此一架飞机在该区域的最大飞行时间是小时,约为17分钟;
  (3) 飞行时,各飞机的坐标不断变化,任意时刻两架飞机的距离大于8公里。
  第四、方向角转化
  因为方向角指飞行方向与X 轴正向的夹角,所以调整方向为逆时针时,调整角度为正;调整方向为顺时针时,调整角度为负。在解答过程中,对所有角度都采用弧度描述,所以首先将6架飞机的初始方向角进行转化,结果如下:
  

飞机编号 1 2 3 4 5 6
初始角(度) 243 236 220.5 159 230 52
初始角(弧度) 4.2412 4.1190 3.8485 2.7751 4.0143 0.9076


  3 模型的建立及求解
  3.1约束层
  1)方向角调整的幅度不应超过30度: 
  2)该区域内一架飞机的最大可能飞行时间:
  3)对飞机飞行时刻的描述:飞行时间是连续的,但这求解时会产生无穷多的变量,因此我们把时间离散化,将最大可能飞行时间分为段,第个时刻表示为
  
  4)飞行中任意两架飞机的距离不超过8公里
  第架飞机的初始坐标为,飞机在不同时刻的对应不同的坐标,(单位:分钟)时刻坐标是;各架飞机的初始方向角是,调整后的方向角是。初始位置和时刻位置的距离是
   
  据坐标变换公式,将时刻坐标以初始坐标表示为:

  上式可以表示任意一架飞机在时刻的坐标,所以第架到第架飞机之间的距离可以表示为:
  其中,
  
  
  那么,任意两架飞机在任意时刻的距离不超过8公里可以表示成:
  
  3.2 目标层——调整的角度越小越好
  由于调整方向有负有正,本文取各架飞机调整角度的绝对值之和
  3.3模型的建立与求解
  从飞行操控难易程度的角度出发,以所有的飞机调整角度最小为目标,建立非线性规划模型,以调整角度为决策变量(规定逆时针调整时,顺时针方向调整时),模型如下:
  
  
  3.4 模型求解3.4.1巧妙精炼的预处理工作本题建立的是一个非线性规划模型,模型本身已经考虑到了LINGO求解时的困难,主要在于:将距离计算式的开方计算,减小了程序运算量,提高了效率;
  (1)转化为 
  (2)把时间离散化表示,即
  对于连续的时间,无法编程计算,因此首先将时间离散化,取为。但即便这样运用LINGO来计算的值会增加变量数量,因为数值计算并不是LINGO软件包的强项,所以我们预先使用MATLAB计算的值,以文件形式向LINGO中导入,这样做显然符合现代结构化编程规范,即:数据程序分离;同样也方便了调试(数据文件保存为DAT.TXT见附录3)。
  表示优化:为了方便计算,本文在前面对角度统一使用弧度描述,但是为了符合人们的习惯,直观的观察求解结果,可以将目标转换成角度表示:
  
  3.4.2求解结果取时间分段数目N=10000,运行LINGO程序得到如下结果:
  

目标值 Objective value: 3.629436度 DT(3)=2.5695956 弧度=0.044847903 DT(6)=1.0598407 弧度=0.01849771 距离最小值8.00843793009587公里

可以看出,只需调整3号与6号飞机,整个区域就可以保证安全,无碰撞事故发生。第3架的调整角度是2.5695956度(0.044847903弧度),第6架的调整角度是1.0598407度(0.01849771弧度)。
  3.5仿真验证为了更加直观地描述调度方案,我们后续在MATLAB中编写仿真程序,动画显示6架飞机实时运行状况,对求解结果进行验证,算法如下:
  Step(1): 输入各飞机初始坐标X,Y,初始方向角,调整角度;(都为1*6数组)
  Step(2): 创建时间变量t=0.01小时;
  Step(3): 计算t时刻各飞机坐标
  
  Step(4): 刷新图像,显示当前各飞机位置,t=t+0.01;
  Step(5): 若t1/3小时则程序结束;否则转STEP[3]。
  通过动画可以观察出经过调整后的飞机飞行线路,直观的验证模型的可行性与求解结果的正确性。

参考文献
[ 1 ]、谢金星、薛毅,《优化建模与LINDO/LINGO软件》,北京,清华大学出版社,2005-7
[ 2 ]、Duane Hanselman, Bruce Littlefield著,朱仁峰 译 《精通MATLAB 7》,北京,清华大学出版社 2006
 

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